¿Líneas de costa infinitas?

Algo bastante curioso a la hora de trabajar con un software GIS y con contornos de países fronterizos es el hecho de que las líneas de frontera no suelen ser “exactas” si dichos contornos proceden de fuentes distintas.

El hecho en sí no nos debe de extrañar. Lo explicaré con un ejemplo muy claro: si repartimos un centenar de ejemplares con una forma hecha con puntos numerados para que se dibuje su contorno en un colegio de preescolar obtendremos un centenar de dibujos distintos. Ahora bien, si aumentamos el número de puntos las formas se irán pareciendo más y más unas a otras. Bien, pues esto es lo que pasa cuando intentamos cartografiar cualquier tipo de accidente geográfico.

Tella_1

Cambios en la medida de línea de costa según la escala.

Llegados entonces a este punto cabe hacer la siguiente reflexión: Imaginemos que queremos medir una línea de costa: seremos más precisos cuanto más pequeño sea el factor de la escala cartográfica utilizada. No resulta la misma medida si empleamos un par estereoscópico que si utilizamos una cinta métrica usual, pero, ¿hasta qué punto esto es así? ¿Acaso esta línea tiene una longitud “infinita”? ¿se pueden representar estas líneas con total exactitud?

A esta paradoja llegó y trató el matemático francés Benoît Mandelbrot en su artículo “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)”, publicado por primera vez en la revista Science en 1967 (aquí su versión en pdf).

¿Qué es lo que pasa entonces segundo el matemático francés? Pues bien, lo que realmente sucede es que nos encontramos con un problema de naturaleza fractal (este término lo acuñó el propio Mandelbrot en 1975). Los fractales son objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Estos se manifiestan en la naturaleza de forma constante (un ejemplo claro es el romanesco, en la  siguiente imagen).

Tella_3.jpg

Un ejemplo clásico de fractal es la curva de Koch. Intuitivamente se observa que a medida que aumentamos el número de segmentos aumenta su longitud. Si unimos tres curvas (obteniendo el famoso copo de nieve) se tiene un objeto con perímetro infinito pero con área finita.

 

A los objetos de esta naturaleza está asociada la dimensión fractal, aquella que mide el grado de escabrosidad del objeto (presentando este un grado de irregularidad constante a diferentes escalas). Por ejemplo, la curva de Koch tiene dimensión fractal de 1.2618, un objeto que “ocupa” más espacio que la línea y menos que la superficie.
tella_6Por tanto, ¿cuál es la respuesta a nuestra paradoja? Mandelbrot concluye en su artículo que la distancia medida de una costa o frontera puede comportarse empíricamente como un fractal a lo largo de  diferentes de escalas de medida, esto es, se puede estimar la dimensión fractal de estas curvas y con ello conocer cuan complicado será representarlas con exactitud (si es que se puede…)

El artículo de Benoît asentó, pues, el inicio de una nueva, bonita e importante relación entre la naturaleza y las matemáticas.

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